\chapter{Posunování reálných pólů}\label{chap:real}


	\section{Posunování jednoduchého reálného pólu}
Předpokládejme, že platí předpoklady dané kapitolou \ref{sec:prerekvizity} a že matice $A$ má jednoduché reálné  řiditelné vlastní číslo $\lambda$; budeme zkoumat, kam je možné toto vlastní číslo posunout pomocí kvadraticky optimální zpětné vazby. Jordanův tvar  mějme ve tvaru
\begin{equation}
\widetilde{A} = \begin{bmatrix} 
\lambda & 0 \cr
0       & J \cr
\end{bmatrix}
,\quad
\widetilde{B} = 
\begin{bmatrix}
b_1^{\rm T}\cr \times
\end{bmatrix}
,
\label{eq:RETvarAaB}
\end{equation}
kde $J \in \mathbb{C}^{n-1 \times n-1}$ obsahuje zbylé póly, které nebudeme posunovat. $b_1^{\rm T}$ je první řádek matice $\widetilde{B}$, $\times$ označuje zbylé hodnoty $\widetilde{B}$. $b_1^{\rm T}$ jsme jako jediné z~$\widetilde{B}$ zvolili, protože jako jediné ovlivňuje mód daný pólem $\lambda$. Podobným způsobem zvolíme i váhovou matici $Q$
\begin{equation}
\widetilde{Q} = \begin{bmatrix}
q &0 \cr
0 &0 \cr
\end{bmatrix}
,
\label{eq:RETvarQ}
\end{equation}
kde $q\geq 0$ je reálný parametr. Pro zpětnou transformaci této matice potom platí
\begin{equation}
Q = T^{\rm -H}\widetilde{Q} T^{-1} = w_1qw_1^{\rm T}\,. 
\label{eq:REQzpet}
\end{equation}
 Zbývá nám zvolit váhovou matici $R$. Později ukážeme, že je výhodné tuto matici volit tak, aby platilo
\begin{equation}
b_1^{\rm T}R^{-1}b_1 = 1\,.
\label{eq:REvyjadrenibRb}
\end{equation}
Taková volba matice $R$ je pro libovolné nenulové $b_1^{\rm T}$ možná, protože rovnice \eqref{eq:REvyjadrenibRb} je kvadratickou formou, tedy $R^{-1}\geq0$. Dále je třeba  zajistit, aby  $R$ bylo invertovatelné -- rovnice \eqref{eq:REvyjadrenibRb} má $m\cdot m$ neznámých v~jedné rovnici; lze tedy nalézt takovou kombinaci neznámých, aby $R$ byla pozitivně definitní. 

Zvolené matice nyní použijeme v~Hamiltonově matici ve tvaru \eqref{eq:REhamiltonMatrixTransformed} 
\begin{equation}
H = \begin{bmatrix}
T & 0 \cr
0 & T^{\rm -H}
\end{bmatrix}
\begin{pmat}[{.|.}]
\lambda &0 & -1 & \times \cr
0       & J& \times & \times \cr\-
-q      &\mbox{~~~} 0\mbox{~~~} & -\lambda & 0 \cr
0 & 0& 0& -J^{\rm H}\cr
\end{pmat}
\begin{bmatrix}
T^{-1} & 0 \cr
0 & T^{\rm H}
\end{bmatrix}.
\label{eq:REhamiltonMatrix}
\end{equation}
Výpočet charakteristického polynomu Hamiltonovy matice \eqref{eq:REhamiltonMatrix} lze provádět už jen na transformované matici, neboť charakteristický polynom je invariantní vůči lineární transformaci \citep[Věta 6.4]{krajnik}.
\begin{align}
\det(sI-H) &= \det 
\begin{bmatrix}
sI - \widetilde{A}  & \widetilde{B}R^{-1}\widetilde{B}^{\rm H} \cr
\widetilde{Q} & sI + \widetilde{A}^{\rm H}\cr
\end{bmatrix}\,, \nonumber\\
&=
\det \begin{pmat}[{.|.}]
s-\lambda &0 & 1 & \times \cr
0       & sI-J& \times & \times \cr\-
q      & 0 & s+\lambda & 0 \cr
0 & 0& 0& sI+J^{\rm H}\cr
\end{pmat}
.
\end{align}
Determinant takto velké matice je vhodné řešit pomocí rozvoje podle řádku a podle sloupce \citep[Věta 4.9]{krajnik}. Nulové matice ve sloupci s~maticí $sI-J$ a v~řádku s~maticí $sI+J^{\rm H}$  usnadní výpočet determinantu. 
\begin{align}
\det (sI-H) &= \det(sI-J)\det(sI+J^{\rm H})\det
\begin{bmatrix}
s-\lambda & 1 \cr
q & s+\lambda \cr
\end{bmatrix} , \nonumber\\
\det(sI-H)&=
\det(sI-J)\det(sI+J^{\rm H})(s^2-\lambda^2-q)\,.
\label{eq:REdeterminantH}
\end{align}
Zde se ukázalo, že podmínka na matici $R$ ve tvaru $b_1^{\rm T}R^{-1}b_1=1$ nám pomohla k~výpočtu determinantu, protože ten potom není nijak parametrizován výsledkem součinu $\widetilde{B}R^{-1}\widetilde{B}^{\rm H}$.

Požadovanou polohu pólu uzavřené smyčky označme $\mu$.
 Poloha ostatních pólů nechť je zachována. Hamiltonova matice bude mít v~takovém případě tvar\begin{equation}
H_\mu = \begin{pmat}[{.|.}]
\mbox{~~}\mu\mbox{~} & 0 & \times & \times \cr
0 & \mbox{~~}J\mbox{~~} & \times & \times \cr\-
0 & 0 & -\mu & 0 \cr
0 & 0 & 0 & -J^{\rm H} \cr
\end{pmat}.
\label{eq:REhamiltonMatrixMu}
\end{equation}
Tvar matice $H_\mu$  jsme získali úvahou, že pokud je $Q=0$, potom nedojde k~žádnému posunu  a tedy matice $H_\mu$ bude mít vlastní čísla dána maticemi $J$ a $-J^{\rm H}$ a také  dvojicí $\mu$ a $-\mu$.
Výpočet charakteristického polynomu $H_\mu$ je v~tomto případě jednodušší -- determinant horní trojúhelníkové matice je roven součinu prvků na diagonále.
\begin{align}
\det (sI-H_\mu) &=
\det \begin{pmat}[{.|.}]
s-\mu & 0 & \times & \times \cr
0 & sI-J & \times & \times \cr\-
0 & 0 & s+\mu & 0 \cr
0 & 0 & 0 & s+J^{\rm H} \cr
\end{pmat},\nonumber\\
&= \det(sI-J)\det(sI+J^{\rm H})(s^2-\mu^2)\,.
\label{eq:REcharPolMu}
\end{align}
 Koeficienty u charakteristických polynomů \eqref{eq:REdeterminantH} a \eqref{eq:REcharPolMu} se musí rovnat, abychom dosáhli posunutí vlastního čísla $\lambda$ do nové polohy v $\mu$.
\begin{align}
\det(sI-J)\det(sI+J^{\rm H})(s^2-\lambda^2 -q) &= \det(sI-J)\det(sI+J^{\rm H})(s^2-\mu^2)\,, \nonumber \\
s^2 - \lambda^2 - q &= s^2 - \mu^2 \,, \nonumber \\
q &= \mu^2-\lambda^2\,.\label{eq:q}
\end{align}
Dostali jsme vztah, který nám ukazuje na kvadratickou závislost mezi rozdílem vlastních čísel a hodnotou parametru $q$. Dále musíme ověřit předpoklad $q\geq 0$. Ten platí pouze v~případě, že $\mu^2 \geq \lambda^2$;
čili nová poloha pólu musí být nalevo od stabilního obrazu $\lambda$ v~komplexní rovině. Tato vlastnost je ilustrována na obrázku \ref{fig:RE}.

\begin{figure}[!ht]
     \centering
     \subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro asymptoticky stabilní pól v~$\lambda$]{
          \label{fig:re_stable}
          \includegraphics[width=.48\textwidth]{images/realShift.pdf}}
     \vspace{0.1in}
     \subfloat[Přípustná oblast pro $\mu$ pro nestabilní pól v~$\lambda$]{
          \label{fig:re_unstable}
          \includegraphics[width=.48\textwidth]{images/realShiftNonStable.pdf}}
\caption[Přípustná oblast pro $\mu$ při posunutí reálného pólu]{Přípustná oblast pro $\mu$ (znázorněna šedivou barvou)}
\label{fig:RE}
\end{figure}


Následující věta shrnuje dosavadní odvození.
\begin{theorem}\label{theorem:real}
Nechť platí předpoklady dané kapitolou \ref{sec:prerekvizity}. Řiditelné vlastní číslo $\lambda$ násobnosti 1 matice $A$ lze posunout do polohy $\mu$ právě tehdy, když 
$\mu \leq - |\lambda|$. K~takovému posunu je třeba váhových matic $Q = w_1(\mu^2 -\lambda^2)w_1^{\rm T}$ a $R$ takovou, pro kterou platí $b_1^{\rm T}R^{-1}b_1=1$. Ostatní vlastní čísla zůstanou zachována. \end{theorem}


Pro výpočet charakteristického polynomu Hamiltoniánu se ukazuje výhodné mít v~součinu matic $\widetilde{B}R^{-1}\widetilde{B}^{\rm H}$ na indexu $(1,1)$ jedničku. Usnadní nám to poté práci s~výpočtem determinantu a odstraní závislost na výsledku tohoto součinu. 

Máme v~podstatě tři možnosti, jak získat jedničku na indexu $(1,1)$. První je fixace vlastních vektorů matice $A$ a volba matice $R$ -- tento postup zde byl uveden. Druhou možností je fixovat $R$ a měnit velikosti vlastních vektorů matice $A$. Tento postup ještě krátce rozebereme.


Uvažujme pro jednoduchost matici $R$ jednotkovou. Ze součinu $\widetilde{B}R^{-1}\widetilde{B}^{\rm H}$ tím odstraníme inverzi $R$. Hodnota na indexu $(1,1)$ v~tomto součinu je určena součinem $b_1^{\rm T}b_1$
\begin{equation}
b_1^{\rm T}b_1 = \beta^2\quad \Rightarrow\quad \beta = ||b_1^{\rm T}||_2\,.
		\end{equation}
Protože platí $\widetilde{B} =T^{-1}B$, vynásobíme  levý vlastní vektor $w_1^{\rm T}$ hodnotou $1/\beta$ zatímco pravý vlastní vektor $v_1$ hodnotou $\beta$. Tyto operace nijak nezmění tvar matice $\widetilde{A}$ zatímco $\widetilde{B}$ se musí znovu přepočítat. Poté dostáváme jedničku na indexu $(1,1)$ v~součinu $\widetilde{B}\widetilde{B}^{\rm H}$ .

Třetí možnost je samozřejmě kombinace obou metod.

Před příkladem použití uvedené metody ještě rozebereme řešení ARE $P$ a výpočet zesílení stavové zpětné vazby $F$.

O~algebraické Riccatiho rovnici víme, že ji můžeme řešit pomocí transformovaných matic dle rovnice \eqref{eq:AREJordan}. Předpokládejme opět, že 
\begin{equation}
\widetilde{P} = \begin{bmatrix}
p & 0 \cr
0 & 0\cr
\end{bmatrix},
\label{eq:RETvarP}
\end{equation}
kde $p \geq 0$.  Do  rovnice ARE \eqref{eq:AREJordan} dosadíme z~\eqref{eq:RETvarAaB}, \eqref{eq:RETvarQ} a \eqref{eq:RETvarP} a dostáváme
\begin{equation*}
 \begin{bmatrix} 
\lambda & 0 \cr
0       & J \cr
\end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
p & 0 \cr
0 & 0\cr
\end{bmatrix}
 + 
 \begin{bmatrix}
p & 0 \cr
0 & 0\cr
\end{bmatrix}
 \begin{bmatrix} 
\lambda & 0 \cr
0       & J^{\rm H} \cr
\end{bmatrix}
-
 \begin{bmatrix}
p & 0 \cr
0 & 0\cr
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
1 & \times\cr
\times & \times \cr
\end{bmatrix}
 \begin{bmatrix}
p & 0 \cr
0 & 0\cr
\end{bmatrix}
+
 \begin{bmatrix}
q & 0 \cr
0 & 0\cr
\end{bmatrix}=0\,.
%\label{eq:ReAREmaticove}
\nonumber
\end{equation*}
Roznásobením a malou úpravou se dostáváme až k~řešení kvadratické rovnice s~neznámou $p$
\begin{equation}
p^2-2\lambda p-q=0\,.
\end{equation}
Dosazením za $q$ z~rovnice \eqref{eq:q} a řešením rovnice pomocí diskriminantu dostáváme 
$p = \lambda \pm \mu $. Hodnota $p$ musí být  ale nezáporná a pro požadovanou polohu pólu  platí $\mu \leq -|\lambda|$; z~těchto podmínek vyplývá výsledný vztah pro $p$ ve tvaru
\begin{equation}
p = \lambda - \mu\,. 
\label{eq:REp}
\end{equation}
Zpětnou transformaci lze realizovat (podobně jako u~matice $Q$) pouze pomocí vektoru $w_1^{\rm T}$
\begin{equation}
P = w_1(\lambda - \mu)w_1^{\rm T}\,.
\label{eq:REPzpet}
\end{equation}
Matici stavové zpětné vazby $F$ získáme dosazením hodnot do vztahu \eqref{eq:REcontrollaw}. Její tvar lze také získat pomocí transformovaných hodnot
\begin{align}
F &= -R^{-1}B^{\rm T}P = -R^{-1}\widetilde{B}^{\rm H}T^{\rm H}T^{\rm -H}\widetilde{P}T^{-1}  =
 -R^{-1}\widetilde{B}^{\rm H}\widetilde{P}T^{-1} \,,\nonumber
\\
&=-R^{-1}
\begin{pmat}[{|..}]
b_1 & \overline{b}_2 & \cdots & \overline{b}_n \cr
\end{pmat}
 \begin{bmatrix}
p & 0 \cr
0 & 0\cr
\end{bmatrix}
\begin{pmat}[{.}]
w_1^{\rm T} \cr\-
w_2^{\rm T} \cr
\vdots \cr
w_n^{\rm T}\cr
\end{pmat}
\,,\nonumber\\
&= -p R^{-1}b_1w_1^{\rm T}\,.
\label{eq:REF}
\end{align}
Tento tvar je výhodné využít v~případě, kdy volíme matici $R$ jednotkovou a matici $F$ nepočítáme pomocí výpočetního programu, ale na papíře. 

\begin{example}[Posunutí jednoduchého řiditelného pólu systému]

 Předpokládejme  systém daný stavovou rovnicí
\begin{equation}
\begin{bmatrix} \dot{x}_1(t) \cr  \dot{x}_2(t) \end{bmatrix}  = 
\begin{bmatrix}
-1 & 1 \cr 
0 & -5 \cr 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} {x}_1(t) \cr  {x}_2(t) \end{bmatrix}  + 
\begin{bmatrix}
1 & 0 \cr 
0 & 1 \cr 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix} {u}_1(t) \cr  {u}_2(t) \end{bmatrix}  \,.
\label{eq:resyst}
\end{equation}
\begin{comment}Lze předpokládat, že tento systém je výsledkem  návrhu kvadraticky optimální uzavřené smyčky vůči nějakým maticím $Q_0$ a $R_0$. \end{comment}
Pól v~$\lambda= -1$ je pro naší aplikaci pomalým, cílem bude nalézt takové matice $Q$ a $R$, které pro systém \eqref{eq:resyst} provedou posunutí pólu do polohy  $\mu= -3$.
\end{example}

\begin{solution}
Podle postupu uvedeného výše nejprve systém převedeme do Jordanova kanonického tvaru. Jordanova kanonická báze je ve tvaru
\[
T = \begin{bmatrix}
0.25 & -0.25 \cr 
0 & 1 \cr 
\end{bmatrix}\quad \Rightarrow \quad \widetilde{A} = \begin{bmatrix}
-1 & 0 \cr 
0 & -5 \cr 
\end{bmatrix},
\quad \widetilde{B} = \begin{bmatrix}
4 & 1 \cr 
0 & 1 \cr 
\end{bmatrix}
.
\]
Pro volbu váhové matice $R$ je pro nás významný první řádek matice $\widetilde{B}$
\[ 
b_1^{\rm T} =  \begin{bmatrix}
b_1(1) & b_1(2) \cr 
\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}
4 & 1 \cr 
\end{bmatrix}.
\]
Číslo v~kulatých závorkách vyjadřuje index prvku ve vektoru.
Pro $R$ musí platit $b_1^{\rm T}R^{-1}b_1=1$, navíc musí být pozitivně definitní. $R$ obecně uvažujme ve tvaru
\[
R = \begin{bmatrix}
r_{11} & r_{12} \cr r_{21} & r_{22}
\end{bmatrix}.
\]
Roznásobením výrazu $b_1^{\rm T}R^{-1}b_1=1$ dostáváme
\[
b_1(1)^2r_{11} + b_1(1)b_1(2)(r_{12} + r_{21}) + b_1(2)^2r_{22} = 1.
\]
Křížové členy  $r_{ij},\, i\neq j$ lze považovat za nulové, usnadní nám to hledání $R$ a máme zaručenou její pozitivní semidefinitnost. Čili máme dvě neznámé a jednu rovnici; volíme $R$ následovně
\[
R^{-1} = \begin{bmatrix}
\frac{1}{2 b_1(1)^2} & 0 \cr
0 & \frac{1}{2 b_1(2)^2} \cr
\end{bmatrix} \quad \Rightarrow \quad
R =
\begin{bmatrix}
{2 b_1(1)^2} & 0 \cr
0 & {2 b_1(2)^2} \cr
\end{bmatrix}
=\begin{bmatrix}
32 & 0 \cr 
0 & 2 \cr 
\end{bmatrix} .
\]
Váhovou matici $Q$ získáme podle věty \ref{theorem:real}
\[
Q = w_1(\mu^2-\lambda^2)w_1^{\rm T} = \begin{bmatrix}
4 \cr 1 \cr 
\end{bmatrix}
((-3)^2 - (-1)^2) \begin{bmatrix}
4 & 1 \cr 
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
128 & 32 \cr 
32 & 8 \cr 
\end{bmatrix}.
\]
Podobně získáme $P$ vztahem \eqref{eq:REPzpet}
\[ 
P = w_1 (\lambda - \mu )  w_1^{\rm T} = 
\begin{bmatrix}
4 \cr 1 \cr 
\end{bmatrix}
(-1 +3 ) \begin{bmatrix}
4 & 1 \cr 
\end{bmatrix} =
\begin{bmatrix}
32 & 8 \cr 
8 & 2 \cr 
\end{bmatrix}.
\]
Stavovou zpětnou vazbu dostáváme dosazením do \eqref{eq:REF}
\[
F = -R^{-1}B^{\rm T}P = \begin{bmatrix}
-1 & -0.25 \cr 
-4 & -1 \cr 
\end{bmatrix}.
\]
Matici dynamiky zpětnovazebního obvodu dostáváme ve tvaru 
\[
A+BF = \begin{bmatrix}
-2 & 0.75 \cr 
-4 & -6 \cr 
\end{bmatrix}.
\]
Vlastní čísla této matice jsou $\lambda = \lambda_1 = -3$ (posunuté) a $\lambda_2 = -5$ (zachované ve své poloze). 
\end{solution}

\begin{note}
V~předchozím příkladu jsme $R$ volili jako diagonální matici, která obsahuje kvadrát prvků vektoru $b_1^{\rm T}$ násobený  číslem 2. Tuto strategii volby $R$ lze jednoduše rozšířit na obecný systém s~$m$ vstupy, když $R$ volíme
\[
R = m \begin{bmatrix}
b_1(1)^2 &	    &	     &\cr	
         & b_1(2)^2 & 		&\cr
  	 &	    & \ddots &\cr
	&	&		& b_1(m)^2\cr
\end{bmatrix}
, \quad \mbox{pro } b_1(i) \neq 0,\, i=1\ldots m\,.
\]
Pokud je některý prvek vektoru $b_1^{\rm T}$ nulový, potom na jeho místo dosadíme libovolnou kladnou hodnotu, abychom $R$ získali pozitivně definitní. 
\end{note}

\section{Posunování násobného reálného pólu}
Předpokládejme, že matice $A$ má řiditelné vlastní číslo $\lambda$, kterému přísluší Jordanův blok velikosti $k$
\begin{equation}
\widetilde{A} = \begin{pmat}[{...|}]
\lambda &        & 	 &	   &	\cr
1       & \lambda& 	 &	   &\cr
	& \scriptscriptstyle\ddots & \scriptscriptstyle\ddots&	   &\cr	
	&	&	1& \lambda & \cr\-
	&	&	&	   & J\cr
\end{pmat}	.	
\label{eq:REKA}
\end{equation}
Matice $\widetilde{Q}$, $R$, $\widetilde{B}$ a $\widetilde{P}$ uvažujme ve stejném tvaru jako v~předchozí sekci. Transformovaná Hamiltonova matice má potom podle \eqref{eq:REhamiltonMatrixTransformeddef} tvar (prázdná pole znamenají nulu/nulovou matici, $\times$ vyznačuje neznámou hodnotu)
\begin{equation*}
\widetilde{H}= 
%-----------
\begin{pmat}[{....|....}]
~\lambda~ &        & 	 &	   &  	&   -1	& \times&\cdots	&\times	&\times	\cr
1       & ~\lambda~& 	 &	   &	&\times	&\times &\cdots	&\times	&\times	\cr
	& \ddots & ~\ddots~&	   &	&\vdots	&\vdots	&\ddots	&\vdots	&\vdots	\cr	
	&	&	~1~& ~\lambda~ & 	&\times	& \times&\cdots	&\times	&\times	\cr
	&	&	&	   & J~	&\times & \times&\cdots	&\times	&\times	\cr\-
-q       & 	& 	 &	   &	&-\lambda&1 	&	&	&	\cr
       & 	& 	 &	   &	&       &-\lambda&\ddots	&	&\cr
	&       &       &	   &	&	&       &\ddots& 1	&	\cr	
	&	&	&          & 	&	& 	&	&-\lambda&	\cr
	&	&	&	   & 	&	& 	&	&	&-J^{\rm H}	\cr
\end{pmat}.
%--------
%\label{eq:REKhamiltonMatrix}
\end{equation*}
Zbývá získat charakteristický polynom matice $\widetilde{H}$. V~tomto polynomu bude zřejmě obsažen součin $\det(sI-J)\det(sI+J^{\rm H})$, který nese informaci o~pólech, které mají být zachovány. Stejný výraz bude i v~požadovaném charakteristickém polynomu. Proto jej můžeme z~výpočtu vypustit a dostáváme
\begin{align}
\det(sI-\widetilde{H}') &= \det
\begin{pmat}[{...|...}]
s-\lambda &        & 	 &	   &  	   -1	&\times	&\cdots	&\times   \cr
-1       &s- \lambda& 	 &	   &	\times	&\times	&\cdots	&\times	 \cr
	& \ddots & \ddots&	   &	\vdots	&\vdots	&\ddots	&\vdots 	\cr	
	&	&	-1&s- \lambda  	&\times	&\times	&\cdots	&\times		\cr\-
q       & 	& 	 &	   	&s+\lambda&-1 	&	&		\cr
       & 	& 	 &	   	&       &s+\lambda&\ddots&		\cr
	&       &       &	   	&	&       &\ddots& -1		\cr	
	&	&	&          	& 	&	& 	&s+\lambda	\cr
\end{pmat},
\nonumber\\
	&= (s^2-\lambda^2)^{k-1}(s^2-\lambda^2-q)\,. \label{eq:REKdetH}
\end{align}
Pro výpočet determinantu byla opět využita věta o~rozvoji matice podle řádku nebo sloupce. Zde trochu brání výpočtu jedničky, které jsou nad diagonálou Jordanova bloku. Pokud ovšem začneme s~rozvoji v~posledním řádku a sloupci daného bloku, potom vždy vykrátíme i jedničku o~řádek/sloupec menší. Tímto iteračním postupem docílíme toho, že jedničky nijak neovlivní determinant. Když navíc zvolíme požadovaný charakteristický polynom $H_\mu'$ ve tvaru 
\begin{equation}
\det(sI-H_\mu') =  (s^2-\lambda^2)^{k-1}(s^2-\mu^2) \,,\label{eq:REKdetHmu}
\end{equation}
potom zjistíme, že se dostáváme ke stejnému výsledku, jako v~sekci o~posunování pólu násobnosti 1. 
\begin{equation}
s^2-\lambda^2 -q = s^2-\mu^2 \quad \Rightarrow  q =\mu^2 - \lambda^2\,.
\end{equation}
\begin{equation}
Q = w_1(\mu^2-\lambda^2)w_1^{\rm T}\,.
\label{eq:REKQ}
\end{equation}

\begin{theorem}
	Nechť platí předpoklady dané kapitolou \ref{sec:prerekvizity}. Řiditelné vlastní číslo $\lambda$ matice $A$, které tvoří Jordanův blok velikosti $k$, lze  posunout do polohy $\mu$ právě tehdy, když $\mu \leq - |\lambda|$. K~takovému posunu je třeba váhových matic $Q = w_1(\mu^2-\lambda^2)w_1^{\rm T}$ a $R$ takovou, pro kterou platí $b_1^{\rm T}R^{-1}b_1 = 1$. Ostatní vlastní čísla zůstanou zachována. Jordanův blok velikosti $k$ přejde na blok velikosti $k-1$.
\end{theorem}

Závěry pro řešení $P$ algebraické Riccatiho rovnice získané analýzou posunutí jednoduchého pólu lze rovněž zobecnit i na úlohu posunutí násobného pólu, protože uvažujeme matici $\widetilde{P}$ ve stejném tvaru jako v~předchozí sekci $\widetilde{P} =\left[ \begin{smallmatrix}p &0 \cr 0 &0\end{smallmatrix}\right]$.

Opět uvedeme jeden příklad použití. Byla by chyba zvolit jiný systém než je dvojitý integrátor, který se nejlepším reprezentantem systému s~násobným pólem. 
\begin{example}[Dvojitý integrátor]
Uvažujme systém daný rovnicí
\begin{equation*}
\dot{x}(t) = \begin{bmatrix}
0 & 1 \cr 
0 & 0 \cr 
\end{bmatrix}
x(t) + \begin{bmatrix}
0 \cr 
1 \cr 
\end{bmatrix}
u(t)\,.
%\label{eq:ex2syst}
\end{equation*}
Předběžnou analýzou zadaného systému zjistíme, že matice $A$ má 2 vlastní čísla v~nule ($\lambda_1 = \lambda_2 = 0$). Matice řiditelnosti je
\[
\mathcal{C} = \begin{bmatrix} B & AB \cr \end{bmatrix} =
\begin{bmatrix} 0 & 1 \cr 1 & 0 \cr \end{bmatrix}.
\]
Čili má plnou hodnost a obě vlastní čísla jsou řiditelná.
 Matice $A$ je přímo v~Jordanově kanonickém tvaru. Jednička nad diagonálou značí, že vlastním číslům přísluší řetězec vlastních vektorů délky $2$ resp. Jordanův blok velikosti $2$.

Cílem bude asymptoticky stabilizovat systém. Z~předchozí analýzy víme, že póly lze posouvat pouze do leva. Naším záměrem tedy bude nová dvojice pólů $\mu_1 = -1$ a $\mu_2 = -2$.
\end{example}
\begin{solution}
Nejprve posuneme první pól do polohy $\mu_1=-1$. U~matic budeme používat dolní index, který označuje, kolikátý pól se právě posunuje.

Podle rovnice \eqref{eq:REKA} musíme systém převést do Jordanova tvaru s~jedničkou pod diagonálou. K~tomu stačí prohodit vektory báze
\begin{equation*}
T_1 = T_1^{-1} =  
\begin{bmatrix}
0 & 1 \cr 
1 & 0 \cr 
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Dostáváme $\widetilde{A}_1$ a $\widetilde{B}_1$ ve tvaru
\begin{equation*}
\widetilde{A}_1 = \begin{bmatrix}
0 & 0 \cr 
1 & 0 \cr 
\end{bmatrix},
\quad
\widetilde{B}_1 = \begin{bmatrix}
1 \cr 
0 \cr 
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Dále podle vztahu \eqref{eq:REvyjadrenibRb} zvolíme váhovou matici $R_1$ 
\begin{equation*}
\widetilde{B}_1\widetilde{B}_1^{\rm T}  = \begin{bmatrix}
1 & 0 \cr 
0 & 0 \cr 
\end{bmatrix}
 \quad \Rightarrow \quad R_1 = 1\,.
\end{equation*}
Váhovou matici $Q_1$ získáme z~\eqref{eq:REKQ} 
\begin{equation*}
Q_1  = w_1 (\mu_1^2-\lambda_1^2) w_1^{\rm T} = \begin{bmatrix}
0 \cr 
1 \cr 
\end{bmatrix}
((-1)^2 - 0)
\begin{bmatrix}
0 & 1 \cr 
\end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix}
0 & 0 \cr 
0 & 1 \cr 
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Podobně získáme řešení ARE podle \eqref{eq:REPzpet}
\begin{equation*}
P_1  = w_1 (\lambda_1 - \mu_1) w_1^{\rm T} = \begin{bmatrix}
0 \cr 
1 \cr 
\end{bmatrix}
(0+1 )
\begin{bmatrix}
0 & 1 \cr 
\end{bmatrix}
 = \begin{bmatrix}
0 & 0 \cr 
0 & 1 \cr 
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Stavová zpětná vazba realizující posun je dána rovnicí \eqref{eq:REF}
\begin{equation*}
F_1 =  -R_1^{-1}B^{\rm T}P_1 = -1\begin{bmatrix}
0 & 1 \cr 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & 0 \cr 
0 & 1 \cr 
\end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
0 & -1 \cr 
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
První pól jsme posunuli, dostáváme matici dynamiky zpětné vazby ve tvaru
\begin{equation*}
A_2 = A+BF_1 = \begin{bmatrix}
0 & 1 \cr 
0 & 0 \cr 
\end{bmatrix}
+ \begin{bmatrix}
0 \cr 
1 \cr 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
0 & -1 \cr 
\end{bmatrix}
 = 
\begin{bmatrix}
0 & 1 \cr 
0 & -1 \cr 
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Snadno ověříme, že došlo k~posunutí pólu z~$0$ do $-1$. Z~matice $A_1$ budeme vycházet při posunu $0\rightarrow -2$. Jordanovu kanonickou bázi nyní dostáváme 
\begin{equation*}
T_2 = \begin{bmatrix}
1 & -1 \cr 
0 & 1 \cr 
\end{bmatrix}
,
\quad
T_2^{-1} = \begin{bmatrix}
1 & 1 \cr 
0 & 1 \cr 
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Vyjádřením dvojice $(A_2,B)$ v~této bázi dostáváme
\begin{equation*}
\widetilde{A}_2=\begin{bmatrix}
0 & 0 \cr 
0 & -1 \cr 
\end{bmatrix}, \quad
\widetilde{B}_2 = \begin{bmatrix}
1 \cr 
1 \cr 
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
 Ihned je zřejmé, že i v~tomto případě budeme volit $R_2=1$. 
\begin{align*}
q_2 &=  \mu_2^2- \lambda_2^2 = (-2)^2 = 4 \quad \Rightarrow \quad Q_2 = \begin{bmatrix}
4 & 4 \cr 
4 & 4 \cr 
\end{bmatrix}, \\
p_2 &=  \lambda_2 - \mu_2 = 0 - (-2) = 2 \quad \Rightarrow \quad P_2 = \begin{bmatrix}
2 & 2 \cr 
2 & 2 \cr 
\end{bmatrix}.
\end{align*}
Zbývá vyjádřit $F_2$
\begin{equation*}
F_2 =  -R_2^{-1}B^{\rm T}P_2 = -1
\begin{bmatrix}
0 & 1 \cr 
\end{bmatrix}
\begin{bmatrix}
2 & 2 \cr 
2 & 2 \cr 
\end{bmatrix}
=
\begin{bmatrix}
-2 & -2 \cr 
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Výsledná matice dynamiky uzavřené smyčky je ve tvaru
\begin{equation*}
A+B(F_1 +F_2)  = \begin{bmatrix}
0 & 1 \cr 
-2 & -3 \cr 
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
Póly se  skutečně posunuly do požadovaných poloh. V~průběhu výpočtu jsme pro posun obou pólů dostávali matici $R_1 = R_2 = 1$. V~sekci o~iterativním posunování pólů \ref{sec:iterace} jsme pro tento případ dokázali, že součet $Q_1 + Q_2$ vede k~požadovanému posunu obou pólů najednou  (lze snadno ověřit, například voláním  \texttt{[F,P,mu]=lqr(A,B,Q1+Q2,1)} v~prostředí Matlab).
V~sekci \ref{sec:iterace} o~iterativním posunování pólů jsme také zmínili, že různé pořadí posunutí jednotlivých pólů může vést k~různým výsledným maticím $Q$. Už bez rozepisování uvedeme, že posouváme-li nejprve $0\rightarrow -2$ a poté $0\rightarrow -1$, dostáváme 
\begin{equation*}
Q_1' = \begin{bmatrix}
0 & 0 \cr 
0 & 4 \cr 
\end{bmatrix}
, \quad
Q_2'= \begin{bmatrix}
4 & 2 \cr 
2 & 1 \cr 
\end{bmatrix}.
\end{equation*}
 a tedy $Q_1 + Q_2 \neq Q_1' + Q_2'$. Celková váhová matice realizující posun je v~obou případech odlišná, ale výsledná matice stavové zpětné vazby je stejná\footnote{Matice $F$ dokonce musí být v~tomto příkladě stejná. U~jednorozměrových plně řiditelných systémů existuje právě jedna matice $F$ realizující požadované umístění pólů.}.
\end{solution}
